基于论证的逻辑——经典抽象论辩理论
- 主要内容：通过论证之间攻击关系对论证状态的影响，来研究论证可接受性。
抽象论辩框架
抽象论辩框架
抽象论辩框架（简称论辩框架）是一个二元组 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，其中 𝐴𝑅 是一组论证的集合， 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠 是 𝐴𝑅 上的二元关系，𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠 ⊆ 𝐴𝑅 × 𝐴𝑅。 用 𝛼 → 𝛽 表示论证 𝛼 攻击论证 𝛽， 用 𝑆 → 𝛽 表示论证集合 𝑆 攻击论证 𝛽，意指存在 𝛼 ∈ 𝑆 使得 𝛼 → 𝛽。相似地，可定义 𝛽 → 𝑆。
论辩框架可以被看作是有向图，即把论证看作有向图的节点而攻击关系看作有向边。这时，也把论辩框架称为论证图。
论证的可接受性
- 如果一个论证不自我攻击，同时没有受到其他论证的攻击，那么它是可接受的
- 如果一个被接受的论证攻击另一个论证，那么后者应该被拒绝
- 如果一个论证 \(\alpha\) 收到攻击，但其所有攻击者都被拒绝，那么 \(\alpha\) 也是可接受的。此时称 \(\alpha\) 被复原。
目前，用于描述论辩语义的方法有两种：基于外延的方法和基于标记的方法。
前者通过定义特定的评价标准把一个论辩框架映射到一组外延的集合。其中，每个外延是一组集体可接受的论证集合。
后者通过定义特定的评价标准把一个论辩框架映射到一组标记的集合。其中，每个标记是一组
附有状态标签的论证集合。
基于外延的语义
基于外延的语义
给定一个抽象论辩框架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，论辩语义 𝜎 是一个函数，它把 𝐴𝐹 映射到一组外延的集合， 记作 \(\Epsilon_\sigma(AF)\)。其中，每个外延是一组“集体可接受”的论证集合。
可相容外延
无冲突
给定𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，设 𝐸 ⊆ 𝐴𝑅 是一组论证集合。𝐸 是无冲突的， 当且仅当 \(\nexists \alpha, \beta\in E, \alpha \rightarrow \beta\)。
可防御
给定𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，设 𝐸 ⊆ 𝐴𝑅 是一组论证集合，\(\alpha\in AR\) 是一个论证。 E是可防御 \(\alpha\) ，当且仅当 \(\forall \beta \in AR\)， 如果 \(\beta \rightarrow \alpha\)，那么 \(E\rightarrow \beta\)。
可相容外延
给定 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，设 𝐸 ⊆ 𝐴𝑅 是一组论证集合。𝐸 是一个可相容外延， 当且仅当 𝐸 是无冲突的，且 𝐸 可以防御每个属于 𝐸 的论证。
定理
设E是一个可相容外延，且E可防御论证 \(\alpha\) 和 \(\alpha'\)。那么：
- \(\alpha\) 和 \(\alpha'\) 间无冲突。
-
\(E'=E\cup \{\alpha\}\) 是可相容的。
-
\(E'\) 可防御 \(\alpha'\)
完全外延
并非每个可相容外延都包含所有可被该外延防御的论证。为使它包含，采用如下方法：
特征函数
抽象论辩框架 架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 的特征函数，记作 \(F_{AF}\)， 定义如下：\(F_{AF}: 2^{AR}\rightarrow 2^{AR}\) \(F_{AF}(S) = \{\alpha| S\text{可防御}\alpha\}\)
具体过程为：设 \(S=\emptyset\)， 应用F作用于S得到可相容外延\(S_1\)，再求\(F(S_1)\)得\(S_2\)，以此类推直到\(F(S_{k})=S_K\) 此时，称\(S_k\)是\(F_{AF}\)的不动点。这时，集合 𝑆 中包含了所有 𝑆 可防御的论证。我们把这样的集合称为完全外延。
完全外延
给定 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，一组论证集合 𝐸 ⊆ 𝐴𝑅 是一个完全外延，当且仅当：𝐸 是一个可相容外延， 且对于 𝐴𝑅 中的每个论证 𝛼，如果 𝐸 可防御 𝛼，那么 𝛼 ∈ 𝐸, 即 \(F_{AF} (𝐸) = 𝐸\)。 这时，𝐸 是 \(F_{AF}\) 的一个不动点。
基外延和优先外延
在完全语义下，各个不同外延中的论证可能相互冲突，因此按照不同的外 延来接受的论证是存在质疑的。这种情况下，有两种可能的选择：只接受无可置疑的论证，或 者接受尽可能多的在理性上可能的论证。依据前者，将得到一个最怀疑的外延，称为基外延； 依据后者，将得到多个最轻信的外延，称为优先外延。
基外延和优先外延
给定 \(AF=<AR,attacks>，E\subset AR\) 是一组论证集合。
-
E是基外延，当且仅当E是最小的（关于集合包含关系）完全外延。
-
E是一个优先外延，当且仅当E是一个极大的（关于集合包含关系）完全外延。
定理
给定 \(AF=<AR,attacks>\)，E是AF的基外延，当且仅当 \(E\) 是 \(F_{AF}\) 的最小不动点。 每个优先外延都是完全外延，反之不成立。
稳定外延与半稳定外延
考虑另一种语义，这种语义下论证状态要么被接受要么被拒绝。
稳定外延
给定 \(AF=<AR,attacks>\)，一组论证集合E是一个稳定外延， 当且仅当：E是无冲突的，且对于任意 \(\alpha\in AR\backslash E，E\) 攻击 \(\alpha\)。
定理
每个稳定外延都是优先外延，反之不成立。
但是并非每个论辩框架都有稳定外延。
半稳定外延
给定\(AF=<AR,attacks>\)，一组论证集合E是一个半稳定外延， 当且仅当：E是完全外延，且\(E\cup E^+\) 是极大的（关于集合包含关系），其中 \(E^+=\{\alpha\in AR|E攻击\alpha\}\)
定理
每个稳定外延都是半稳定外延，反之不成立；每个半稳定外延都是优先外延。
基于标记的语义
下面介绍基于标记的论辩语义，其基本思想是依据特定的规则给每个论证指派一个“合理的”标签。标签是事先规定好的，只有三种：IN，OUT 和 UNDEC。 其中，IN 表示论证的状态为“被接受的”，OUT 表示论证的状态为“被拒绝的”，UNDEC 表示论证的状态是“未确定的”。
标记
给定一个论辩框架AF=
用in(L)表示集合\(\{\alpha|L(\alpha)=UNDEC\}\)，out(L)表示集合\(\{\alpha|L(\alpha)=OUT\}\)，undec(L)表示集合\(\{\alpha|L(\alpha)=UNDEC\}\)
合法标记
设L使论辩框架AF=
-
\(L(\alpha)\)=IN是合法的，如果对于任意\((\beta,\alpha)\in attacks\)，\(L(\beta)=OUT\).
-
\(L(\alpha)=OUT\)是合法的，如果存在 \((\beta,\alpha)\in attacks\) 使得 \(L(\beta)=IN\)
-
\(L(\alpha) = UNDEC\) 是合法的，如果：对于任意 \((\beta,\alpha)\in attacks\)，\(L(\beta)\neq IN\)， 而且存在 \((\beta,\alpha)\in attacks\) 使得 𝐿(𝛽) ≠ OUT.
可相容标记与可相容外延对应。
可相容标记
设 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 是一个抽象论辩框架，𝐿 是 𝐴𝐹 的一个可相容标记， 当且仅当：对于任意 𝛼 ∈ 𝐴𝑅，如果 𝐿(𝑎) = 𝐼𝑁，那么 𝐿(𝛼) = IN 是合法的；如果 𝐿(𝛼) = OUT， 那么𝐿(𝛼) = OUT 是合法的。
定理：可相容标记->可相容标记
设 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 是一个抽象论辩框架。 如果 𝐿 是 𝐴𝐹 的一个可相容标记，那么𝑖𝑛(𝐿) 是 𝐴𝐹 的一个可相容外延。
定理：可相容外延->可相容标记
设E是AF=
其中，\(E^+=\{\alpha\in AR|E\text{攻击}\alpha\}\)
完全标记
设 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 是一个论辩框架，𝐿 是 𝐴𝐹 的一个完全标记， 当且仅当：𝐿 是 𝐴𝐹的一个可相容标记，且对于任意 𝛼 ∈ 𝐴𝑅，如果 𝐿(𝛼) = UNDEC，那么 𝐿(𝛼) = UNDEC是合法的。
优先、基、稳定与半稳定标记
设 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 是一个抽象论辩框架，那么：
-
𝐿 是 𝐴𝐹 的一个优先标记，当且仅当 𝐿 是 𝐴𝐹 的一个完全标记，且 𝑖𝑛(𝐿) 是极大的（关于集合包含关系）；
-
𝐿 是 𝐴𝐹 的一个基标记，当且仅当 𝐿 是 𝐴𝐹 的一个完全标记，且 𝑖𝑛(𝐿) 是最小的（关于集合包含关系）；
-
𝐿 是 𝐴𝐹 的一个稳定标记，当且仅当 𝐿 是 𝐴𝐹 的一个完全标记，且 𝑢𝑛𝑑𝑒𝑐(𝐿) = ∅;
-
𝐿 是 𝐴𝐹 的一个半稳定标记，当且仅当 𝐿 是 𝐴𝐹 的一个完全标记，且𝑖𝑛(𝐿) 和 𝑜𝑢𝑡(𝐿)是极大的（关于集合包含关系）。
定理
设 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 是一个抽象论辩框架，𝜎 ∈ {𝑐𝑜, 𝑝𝑟, 𝑔𝑟, 𝑠𝑡, 𝑠𝑠𝑡} 是完全语义、优先语义、基语义、稳定语义和半稳定语义中的一种论辩语义。
-
对于 𝜎 语义下 𝐴𝐹 的任意标记 𝐿， 存在相同语义下 𝐴𝐹 的一个外延 𝐸，使得 \(L=(E,E^+,AR \\ (E\cup E^+))\)；
-
对于 𝜎 语义下 𝐴𝐹 的任意外延 𝐸，存在相同语义下 𝐴𝐹 的一个标记 𝐿 使得 𝐸 = 𝑖𝑛(𝐿)。
上述定理表明，基于外延的语义和基于标记的语义具有对应关系。不过，这两种的侧重点是不同的。基于外延的语义侧重于语义描述，建立在论证集合的可相容性或特征函数的不动点等概念的基础上。基于标记的方法侧重于过程实现，更适合用于建立相应的算法。
论证的状态
给定一个论辩框架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，在论辩语义 𝜎 下，分别用 \(\Epsilon_{\sigma}(AF)\)和 \(\mathcal{L}_\sigma(𝐴𝐹)\) 表示 𝐴𝐹 的外延集合和标记集合。 其中，𝜎 ∈ {𝑎𝑑, 𝑐𝑜, 𝑔𝑟, 𝑝𝑟, 𝑠𝑡, 𝑠𝑠𝑡}，分别表示可相容语义、完全语义、基语义、优先语义、稳定语义和半稳定语义。
关于外延或标记的论证状态
给定 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，对于任意 𝐸 ∈ E𝜎(𝐴𝐹)，或者 𝐿 ∈ L𝜎(𝐴𝐹)，
可以确定 𝐴𝐹 中各个论证的状态：
从标记的角度，对于任意 \(\alpha \in AR\),
- \(\alpha\) 是关于E被接受的，当且仅当 \(L(\alpha)=IN\)
- \(\alpha\) 是关于E被拒绝的，当且仅当 \(L(\alpha)=OUT\)
- \(\alpha\) 是关于E被未确定的，当且仅当 \(L(\alpha)=UNDEC\)
从外延的角度，对任意 \alpha\in AR,
- \(\alpha\) 关于E是被接受的，当且仅当 \(\alpha\in E\)
- \(\alpha\) 关于E是被拒绝的，当且仅当E攻击 \(\alpha\)
- \(\alpha\) 关于E是被未确定的，当且仅当 \(\alpha\notin E\) 且 E不攻击\(\alpha\)
论证的辩护状态
给定一个论辩框架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 和一种论辩语义
𝜎 ∈ {𝑎𝑑, 𝑐𝑜, 𝑔𝑟, 𝑝𝑟, 𝑠𝑡, 𝑠𝑠𝑡}，对于任意论证 𝛼 ∈ 𝐴𝑅:
- \(\alpha\) 是怀疑可辩护的，当且仅当对于任意 \(E\in \Epsilon_{\sigma}(AF)，\alpha\in E\)
- \(\alpha\) 是轻信可辩护的，当且仅当存在 \(E_1，E_2\in \Epsilon_{\sigma}(AF)\)，使得 \(\alpha\in E_1\)，
但 \(\alpha\notin E_2\)
- \(\alpha\) 是不可辩护的，当且仅当不存在 \(E\in \Epsilon_{\sigma}(AF)\) ,使得 \(\alpha \in E\)
抽象论辩语义的模块化
在一些情况下，全局评估论证的状态是低效的。对于某些抽象论辩框架来说，局部计算论证的状态可极大降低计算复杂性。
子框架的语法定义
子框架
给定一个抽象论辩框架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩ 和一组论证 𝐵 ⊆ 𝐴𝑅， 设 \(𝐵^- = \{𝑎 ∈ 𝐴𝑅 \ 𝐵 |∃𝑏 ∈ 𝐵 : (𝑎, 𝑏) ∈ 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠\}\)。 把 𝐵− 称为 𝐵 的约束论证。当 \(𝐵^- = ∅\) 时，由 𝐵 导出的子框架是不受约束的。这时，该子框架可以表示为 \((𝐵, 𝑅_B)\)， 其中 \(R_B = 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘𝑠 \cup (𝐵×𝐵)\)。当 \(B^-\neq \emptyset\) 时，由 𝐵 导出的子框架是受约束的。 这时，该子框架可以表示为 \(( (𝐵, 𝑅_𝐵), (𝐵^-, 𝐼_𝐵))\)，其中 (𝐵−, 𝐼𝐵) 是约束子框架， 𝐼𝐵 = 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠 ∩ (𝐵− × 𝐵)。
抽象论辩框架分解与合并
给定一个有向图，由该图的所有强连通分量构成的缩简图是一个有向无环图。一个抽象论辩框架可以被分解为一个由强连通分量构成的缩简图。该缩简图的每个顶点都是一个强连通分量。
定理
给定一个抽象论辩框架 𝐴𝐹 = ⟨𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠⟩，把 𝐴𝐹 的强连通分量集合记作 \(SCCF_{AF}\)。
对于任意 \(B\in SCCF_{AF}\)，令 \(𝑝𝑎(𝐵) = {𝐶 ∈ SCCF_{AF} | 𝑐 ∈ 𝐶, 𝑏 ∈ 𝐵:(𝑐, 𝑏) ∈ 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠}\)。
则如下命题成立：
1. 当 \(B^-=\emptyset\)，由 B 可以导出一个不受约束子框架 \((B,R_B)\)
2. 当 \(B^-\neq \emptyset\)，由B可以导出一个受约束子框架 \(((B,R_B), (B^-,I_B))\),
其中 \(B^-\subset \cup_{C\in pa(B)}C\)
定理
设 \(((B,R_B),(B^-, I_B)^L)\) 和 \((C,R_C)\) 是 AF=
-
\(B\cup B^-\cup C=B\cup C\)
-
\(R_B\cup I_B\cup R_C = R_{B\cup C}\)
-
\((B\cup C)^- = \emptyset\)
因此，通过合并框架 \(((B,R_B),(B^-, I_B)^L) 和(C,R_C)\) 可得到不收约束框架 \((B\cup C,R_{B\cup C})\)
局部语义
设 \(((B,R_B),(B^-, I_B))\) 和 \((C,R_C)\) 是 AF=
局部标记子框架的标记
把一个局部标记子框架 \(((B,R_B),(B^-, I_B)^L)\) 的标记定义为： \(L':B\cup B^- \mapsto\{IN,OUT,UNDEC\}\)，使得对于所有 a\in B^-,L'(a)=L(a)
局部标记子框架的合法标记
设 𝐿′ 是 \(((B,R_B),(B^-, I_B)^L)\) 的一个标记，对于任意 𝑎 ∈ 𝐵,
- 𝐿′(𝑎) = 𝐼𝑁 是合法的，当且仅当：对于任意 𝑏 ∈ 𝐵，如果 (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅𝐵，
那么 𝑏 在 𝐿′被标记为 𝑂𝑈𝑇；对于任意 𝑏 ∈ 𝐵−，如果 (𝑏, 𝑎) ∈ \(𝐼_𝐵\)，那么 𝑏 在 𝐿 中被标记为 𝑂𝑈𝑇。
-
𝐿′(𝑎) = 𝑂𝑈𝑇 是合法的，当且仅当：存在 𝑏 ∈ 𝐵，使得 (𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅𝐵，且 𝑏 在 𝐿′ 被标记为 𝐼𝑁；或者存在 \(𝑏 ∈ 𝐵^−\)，使得 (𝑏, 𝑎) ∈ 𝐼𝐵，且 𝑏 在 𝐿 中被标记为 𝐼𝑁。
-
𝐿′(𝑎) = 𝑈𝑁𝐷𝐸𝐶 是合法的，当且仅当：不存在 \(𝑏 ∈ 𝐵 ∪ 𝐵^-\)，使得 (𝑏, 𝑎) ∈ \(R_B\cup I_B\) 且 𝑏 在 𝐿′ 或 𝐿 中被标记为 𝐼𝑁；存在 \(𝑏 ∈ 𝐵 ∪ 𝐵^−\)，使得 \((𝑏, 𝑎) ∈ 𝑅_𝐵 ∪ 𝐼_𝐵\) 且 𝑏 在 𝐿′或 𝐿 中不被标记为 𝑂𝑈𝑇。
子框架的语义合成
定理
给定一个抽象论辩框架 𝐴𝐹 =< 𝐴𝑅, 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘 𝑠 >， \(B，C\subset AR, B^-\neq \emptyset, C^-=\emptyset, B^-\subset C\)。 在论辩语义 \(\sigma\in \{ad,co,gr,pr\}\)
-
\(\mathcal{L}_\sigma((C,R_C))=\{L\cap C| L\in \mathcal{L}_\sigma(AF)\}\)
-
\(\mathcal{L}_\sigma(((B,B_R),(B^-,I_B)^{L'})) = \{L\cap (B\cup B^-)|L\in \mathcal{L}_{\sigma}(AF)\}\)， 其中 \(L'\in \mathcal{L}_\sigma((C,R_C))\)