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知识图谱与描述逻辑

语义网络与知识图谱

语义网络

语义网络是一个图，其节点表示对象或概念，边表示这些对象或概念之间的关系。

知识图谱是一种语义网络，用于描述现实世界中的各种实体及其关系。与语义网络一样，知识图谱由如下三种成分构成：节点、边和标签。

本体与描述逻辑

TBOX（术语框）：含用于描述概念层次的句子， ABOX（断言框）：含基句子，阐述个体属于层次的哪个地方。 例如：“每个员工都是人”属于 Tbox，而“Bob 是一位员工”属于 ABox。

本体是一种统一的术语体系，可支持知识共享，通常有三部分组成：关于事物分类的词汇表，分类的组织，一组公理集合。（用于限制一些符号的定义）

  • 描述逻辑中的三种实体：
  • 概念：个体的集合，可视为一元谓词
  • 角色：个体之间的二元关系，可视为二元谓词
  • 个体名称：一个领域中的单个个体，可视为常元。

本体不能完全描述特定的 “情况” 或 “世界的状态”，而是由一系列句子（称为公理）组成。每个公理都必须在所描述的情况下为真。公理分为三类：断言型（ABox）公理，术语型（TBox）公理和关系型（RBox）公理。

  • 用 ABox 公理断言事实： ABox 公理可以刻画关于命名个体的知识，即它们所属的概念以及它们相互之间的关系。最常见的 ABox 公理是概念断言，如 Mother(julia)，角色断言：parentOf(julia, john)

  • 用 TBox 公理表达术语知识： TBox 公理描述概念之间的关系。例如，“所有母亲都是父母”这个事实可以用概念包含表示如下： Mother \(\sqsubseteq\) Parent

  • 用 RBox 公理建模角色之间的关系： RBox 公理是关于角色的特性的。关于概念，描述逻辑支持决策包含公理和角色等价公理。 parentOf \(\sqsubseteq\) ancestorOf 公理表示parentOf 是 ancestorOf 的子角色，即由parentOf 关联的每队个体也是由 ancestorOf 关联的个体。

概念和角色的构造算子

  • 布尔概念构造算子： 布尔概念构造算子提供了基本的布尔运算，这些运算与人们熟悉的集合的交集、并集和补集运算，或者与逻辑表达式的合取、析取和否定运算密切相关。

Female ⊓ Parent，Mother ≡ Female ⊓ Parent，Parent ≡ Father ⊔ Mother

  • 角色限制：

父母是至少一个人的父母：Parent ≡ ∃parentOf.⊤ 它描述了这样的个体集合：其中的每个个体都是至少一位个体（⊤ 的实例）的父母。 ∃parentOf.Female 这个概念描述了那些至少有一个女性的父母，即那些有女儿的人 (∃parentOf.⊤) ⊓ (∀parentOf.Female) ：描述至少有一个孩子并且所有孩子都是女性的个体。

描述逻辑的语法

形式上，每个描述逻辑本体都基于三组有穷的符号集合：\(N_C, N_R, N_O\)，它们分别表示概念名集合、角色名集合和个体名集合。这样，三元组 (N_C, N_R, N_O) 构成描述逻辑的名字表。

描述逻辑 \(\mathcal{ALC}\) 的概念定义如下：

\(mathcal{ALC}\)

\(\mathcal{ALC}\) 概念集合是满足如下条件的极小集合： - \(\top, \bot\) 是概念 - \(A\in N_C\)：每个原子概念是概念 - 如果C和D是概念，且 \(R\in N_R\) 是角色名，那么如下是概念： - \(C\sqcap D, C\sqcup D, \neg C\) ：概念的交并补是概念 - \(\forall R.C\)：一个角色对一个概念的全称约束是一个概念 - \(\exist R.C\)：由一个角色对一个概念的存在约束是一个概念

术语公理

普通概念包含形如 𝐶 ⊑ 𝐷，其中 𝐶 和 𝐷 是概念。当 𝐶 ⊑ 𝐷 且 𝐷 ⊑ 𝐶 时，记作 𝐶 ≡ 𝐷。

TBox是一组术语公理的有穷集合。TBox $ \mathcal{T}$ 和它的扩张 $ \mathcal{T}'$ 是等价的。 \(mathcal{T}\) 的扩张是将其定义中的的每个名称替换为该名称所代表的概念。相当于是做代换直到不能代换为止。

断言公理

  • 概念断言是一个形如 \(a: C\) 的句子，其中 \(a\in N_O\), C是一个概念。
  • 角色断言是一个形如 \((a,b) : R\) 的句子，其中 \(a, b\in N_O\)，R是一个角色。
  • ABox 是一组断言公理的有穷集合。

知识库

在描述逻辑中，一个知识库是一个有序对 \((\mathcal{T}, \mathcal{A})\)。其中 \(\mathcal{T}, \mathcal{A}\) 分别是 TBox 和 ABox

描述逻辑的语义

描述逻辑的语义通过如下方式定义：把概念解释为个体的集合，而把角色解释为个体有序对的集合。

一个解释 \(\mathcal{I}\) 由一个称为 \(\mathcal{I}\) 的域的集合 \(\Delta^\mathcal{I}\) 和一个解释函数 \(·^\mathcal{I}\) 组成，该函数将每个原子概念映射到一个集合 A^\mathcal{I} \subset \Delta^\mathcal{I}，将每个原子角色R映射到二元关系 \(R^\mathcal{I}\subset \Delta^\mathcal{I} \times \Delta^\mathcal{I}\)，将每个个体名称映射到一个元素 \(a^\mathcal{I} \in \Delta^\mathcal{I}\)

概念的解释

给定名字表 \((𝑁_𝐶, 𝑁_𝑅, 𝑁_𝑂)\)，相应的术语解释定义为 \(I = (\Delta^\mathcal{I}, ·^\mathcal{I})\)。其中， - 非空集合 \(\Delta^\mathcal{I}\) 成为论域。 - 解释函数·^I 包括如下映射： - 把每个个体a映射为元素 a^\mathcal{I} \in \Delta^\mathcal{I} - 把每个概念映射为\Delta^\mathcal{I}的子集 - 把每个原子角色映射为 \Delta^\mathcal{I} \times \Delta^\mathcal{I}子集 使得 - \(\top^I=\Delta^\mathcal{I}\) - \(\bot^I=\emptyset\) - \((C\sqcup D)^I = C^I\cup D^I\) - \((C\sqcap D)^I = C^I\cap D^I\) - \((\neg C)^I = \Delta^\mathcal{I}\\C^I\) - \((\forall R.C)^I = \{x\in \Delta^\mathcal{I} | \forall y \text{如果} (x,y)\in R^I，\text{则} y\in C^I\}\) - \((\exist R.C)^I = \{x\in \Delta^\mathcal{I} | \exist y\in \Delta^I : (x,y)\in R^I，y\in C^I\}\)

描述逻辑的推理

定理

对于概念C和D，我们有： (1) C 被 D 包含，当且仅当 \(C\sqcap \neg D\) 不可满足。 (2) C 与 D 等价，当且仅当 \(C\sqcap \neg D, \neg C \sqcap D\) 都不可满足 (3) C与 D 不相交，当且仅当 \(C\cup D\) 不可满足

ALC表算法

关于判断ALC概念可满足性的算法

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