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结构化论辩理论

与命题逻辑类似，经典抽象论辩理论没有刻画论证的内部结构以及攻击关系的来源。通 常，需要引入特定的逻辑语言来表示知识，并在此基础上定义具体的论证及其之间的关系。我 们把这种包含论证内部结构及攻击关系来源的论辩理论称为结构化论辩理论。

推理规则

设 \(𝑃𝑟𝑜𝑝\) 是某个逻辑语言下的所有命题集合。推理规则分为硬性规则和可废止规则， 分别表示为 \(𝜙_1,\dots, 𝜙_𝑛 \rightarrow 𝜙\) 或 \(𝜙_1,\dots, 𝜙_𝑛 \Leftarrow 𝜙\)， 其中 \(𝜙, 𝜙_𝑖 \in 𝑃𝑟𝑜𝑝\)。前者意指：当 \(𝜙_1,\dots, 𝜙_𝑛\) 为真时，\(𝜙\) 必然为真； 后者意指：一般情况下，当 \(𝜙_1,\dots, 𝜙_𝑛\) 为真时 \(𝜙\) 为真，但允许在一些例外情况为假。

硬性规则 \(𝜙_1,\dots, 𝜙_𝑛 \rightarrow 𝜙\) 对应于演绎推理中的形式可推演关系 \(𝜙_1,\dots,𝜙_𝑛 \models 𝜙\) ，这种推理是可靠的，即前提为真可以确保结论为真。

运用可废止规则和缺省规则都可以表示不可靠的推理，但二者在处理不可靠知识时有重要区别。

  • 在可废止规则中，知识的不可靠性可以表达为推理关系的不可靠性。
  • 在缺省规则中，知识的不可靠性只能表达为缺省条件。

定义

依据推理关系的不同，论证可分为演绎论证和非演绎论证。

演绎论证是指推理关系为演绎推理的论证。演绎论证的关键特性是有效性。对于一个有效的演绎论证，其前提真必然导致结论真。

演绎论证

设 \(𝑃𝑟𝑜𝑝\) 是某个逻辑语言下的所有命题集合，\(𝐴 \subseteq 𝑃𝑟𝑜𝑝\) 是一组假设集合。给定一个论证 \(Φ \succ_R 𝜙\)，如果 \(𝑅\) 中不包含可废止规则，则该论证是一个演绎论证，记作 \(Φ \vdash_R 𝜙\)。 如果 \(Φ \cap 𝐴 = \emptyset\)，则 \(Φ \vdash_R 𝜙\) 是一个经典演绎论证，否则它是一个基于假设的演绎论证。

一个基于假设的演绎论证的结论为真，当且仅当该论证的所有假设性前提的反对都为假，且所有事实性前提都为真。

可废止论证

给定一个论证 \(Φ \mid\succ_R 𝜙\)，如果 \(𝑅\) 中包含可废止规则，则该论证是一个可废止论证，记作 \(Φ \mid\sim_R 𝜙\)

攻击关系

反对关系

给定两个命题 \(𝜙\) 和 \(𝜓\) ，我们说 \(𝜙\) 是 \(𝜓\) 的反对，当：如果 \(𝜙\) 为真，则 \(𝜓\) 为假。 把反对 \(𝜙\) 的所有命题集合记作 \(\bar{𝜙}\)。

具有反对关系的一对命题可以同假，但不可同真。如果一对命题既不可同真也不可同假，那么它们是矛盾关系。

说一个论证破坏另外一个论证，如果第一个论证的结论反对第二个论证的假设性前提。

破坏

设 \(𝐴\) 是一组假设集合。给定两个论证 \(Φ_1 \mid\succ_{R_1} 𝜙_1\) 和 \(Φ_2 \mid\succ_{R_2} 𝜙_2\)， 如果存在 \(𝜙 \in Φ_2 \cap 𝐴\) 使得 \(𝜙_1 \in \bar{𝜙}\)，那么 \(Φ_1 \mid\sim_{R_1}\) 在 \(𝜙\) 上破坏 \(Φ_2 \mid\succ_{R_2} 𝜙_2\)

说一个论证底切另一个论证，如果一个论证的结论反对另一个论证的推理关系。 对于一条可废止推理规则，我们说它是可应用的，当其前提为真的时候结论也为真；否则，它不是可应用的。给定可废止规则 \(𝑑\)，我们用 \ \(\text{appl}(𝑑)\) 表示命题“可废止规则 \(𝑑\) 是可应用的”。

底切

给定两个论证 \(\Phi_1\mid\succ_{R_1} \phi_1\) 和 \(\Phi_2\mid\succ_{R_2} \phi_2\)， 如果存在 R_2 中存在可废止规则 \(d\) \ 使得 \(\phi_1\in\bar{\text{appl}(d)}\)， 那么说 \(\Phi_1\mid\succ_{R_1} \phi_1\) 底切 \(\Phi_2\mid\succ_{R_2} \phi_2\)。

如果第一个论证的结论反对第二个论证的结论，那么就说一个论证反驳另外一个论证。

反驳

给定两个论证 \(\alpha_1 = \Phi_1\mid\succ_{R_1} \phi_1\) 和 \(\alpha_2 = \Phi_2\mid\succ_{R_2} \phi_2\)，如果存在 𝛼2 的一个子论证 \(\alpha = \Phi\mid\succ_R \phi\)，使得 𝜙 要么是假设要么是一条可废止规则的结论， 且 \(\phi_1\in\bar{\phi}\)，那么 \(\alpha_1\) 在 \(\alpha\) 上反驳 \(\alpha_2\)。

极大可错子论证

论证 𝛼 的极大可错子论证的集合 𝑀(𝛼) 是满足如下条件的集合：对于任意 𝛼′ ∈ Sub(𝛼)，𝛼′ ∈ 𝑀(𝛼)，当且仅当：

  1. 𝛼′的最后一条推理规则是可废止的或 𝛼′ 是一个假设性前提；

  2. 不存在 𝛼′′ ∈ Sub(𝛼)，使得 𝛼′′ ≠ 𝛼, 𝛼′ ∈ Sub(𝛼′′), 且 𝛼′′ 满足条件 1。

硬性规则的逆否

给定一条硬性规则， \(\phi_1,\cdots,\phi_n\)，其逆否是 \ \(\phi_1,\cdots,\phi_{i-1},\neg\phi,\phi_{i+1},\cdots,\phi_n\rightarrow \neg \phi_i\)

通过应用硬性规则在一组论证集合之上构造新的论证。我们把这种论证称为论证集合的硬性接续。

硬性集合的硬性接续

给定任意论证集合合 \(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}\)，论证 𝛼 是 \ \(\{\alpha_1,\cdots,\alpha_n\}\) 的硬性接续，当且仅当：

  • 𝛼 中包含的假设及可废止规则与 \(\alpha_1,cdots,\alpha_n\) 中包含的假设及可废止规则相同；

  • 𝛼 中包含的事实性前提及硬性规则集合是 \(\alpha_1,cdots,\alpha_n\) 中包含的事实性前提及硬性规则集合的超集。

击败关系

对于两个存在攻击关系的论证，它们的强度差异会影响攻击是否成功。对于经典演绎论 证之外的其他论证，都存在一些可错元素，包括假设性前提和可废止规则。一个论证的强度取 决于构成该论证的各个可错元素的强度。给定两个论证，它们的可错元素构成两个集合。因 此，两个论证的强弱之比可以被定义为这两个论证所对应的两个可错元素的集合的强弱之比。 关于从元素之间的优先级到集合之间的优先级的提升，目前有 3 种常用方式：

优先级提升方式

给定集合 S_1和 S_2,有如下三种方式提升优先级：

  1. 占优方式：\(S_1\succeq_{Dom} S_2\) 当且仅当 \(\exist x\in S_1, \exist y\in S_2: x\succeq y\), 并且 \(\notexist x\in S_1, \notexist y \in S_2: y\succeq x.\)

  2. 精英方式：\(S_1 \succeq_{Eli} S_2\) 当且仅当 \(\forall x \in S_1,\exist y \in S_2: x \succeq y.\)

  3. 民主方式：\(S_1 \succeq_{Dem} S_2\) 当且仅当 \(\exist x\in S_1,\forall y\in S_2:x\succeq y.\)

定理

给定集合 \(S_1\) 和 \(S_2\)，如果 \(S_1\succeq_{Dom} S_2\) ，那么 \(S_1 \succeq_{Eli} S_2\) 且 \(S_1 \succeq_{Dem} S_2\)，反之不成立。

论证之间的优先关系

给定两个论证 \(\alpha = \Phi_1\mid\succ_{R_1} \phi_1\) 和 \(\beta = \Phi_2\mid\succ_{R_2}\phi_2\)， 设 \(F_1\subset \Phi_1 \cup R_1\) 和 \(F_2\subset \Phi_2 \cup R_2\) 分别为两个论证的可错元素集合。 \(\alpha \succeq \beta\) 当且仅当 \(F_1\succeq F_2\)

给定两个论证 𝛼 和 𝛽，它们之间的击败关系通过攻击关系和优先关系来定义。

成功反驳与成功破坏

给定两个论证 𝛼 和 𝛽：

  • 如果 𝛼 在子论证 𝛽′ 上反驳 𝛽，且 𝛼 ⪰ 𝛽′，则 𝛼 成功反驳 𝛽。

  • 如果 𝛼 在 𝛽 的假设性前提 𝜙 上破坏 𝛽，且 𝛼 ⪰ {𝜙}，则 𝛼 成功破坏 𝛽。

击败关系

给定两个论证𝛼 和 𝛽，我们说 𝛼 击败 𝛽，当且仅当：𝛼 底切 𝛽，或者 𝛼 成功反驳 𝛽，或者 𝛼 成功破坏 𝛽。

可废止理论

可废止理论

设 𝐹 ⊆ 𝑃𝑟𝑜𝑝 是一组事实集合，𝑅𝑑 和 𝑅𝑠 分别是定义“推理关系”中所示的一组可废止规则集合和一组硬性规则集合。 一个可废止理论定义为 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠)。

可废止理论的外延与结论

可废止理论的外延与结论

设 \(𝐴𝐹_𝑇 = ⟨𝐴𝑅_𝑇 , 𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘𝑠_𝑇 ⟩\) 是由可废止理论 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 产生的一个论辩框架。 在论辩语义 𝜎 ∈ {𝑎𝑑, 𝑐𝑜, 𝑝𝑟, 𝑔𝑟, 𝑠𝑡, 𝑠𝑠𝑡} 下，我们说：

  • 对于任意 \(𝐸 \in \Epsilon_\sigma(𝐴𝐹_𝑇 )\), 称 Conc(𝐸) = {Conc(𝛼) | 𝛼 ∈ 𝐸} 是可废止理论 𝑇 的外延。

  • 𝜑 是 \(𝐴𝐹_𝑇\) 的轻信可辩护结论，当且仅当存在论证 𝛼，使得 \(Conc(𝛼) = 𝜑\), 且 𝛼 在 𝜎语义下是轻信可辩护的， 记作 \(𝑇 \mid\^{\exist}_𝜎 𝜑\)。

  • 𝜑 是 𝐴𝐹𝑇 的怀疑可辩护结论，当且仅当对于每个 𝜎 外延 𝐸，存在论证 𝛼 ∈ 𝐸，使得 Conc(𝛼) = 𝜑， 记作 \(𝑇 |∼∀𝜎_𝜑\)。

系统特性

集合的一致性

设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个可废止理论。对于任意文字集合 𝑆 ⊆ 𝑃𝑟𝑜𝑝, 设 𝑇ℎ(𝑆) 是集合𝑆 在硬性规则集合 𝑅𝑠 下的闭包。 它是满足如下条件的极小集合：𝑆 ⊆ 𝑇 ℎ(𝑆)； 对于任意𝑟 ∈ 𝑅𝑠, 如果 𝑟 的前提都在 𝑇ℎ(𝑆) 中，那么 𝑟 的结论也在 𝑇ℎ(𝑆) 中。

  • 𝑆 是直接一致的，当且仅当 ∄𝑙1, 𝑙2 ∈ 𝑆 使得 𝑙1 = −𝑙2。

  • 𝑆 是间接一致的，当且仅当 𝑇 ℎ(𝑆) 是直接一致的。

逆否封闭性

设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个可废止理论。𝑇 是逆否封闭的，当且仅当： 如果 𝜙1, . . . , 𝜙𝑛 −→𝜙 ∈ 𝑅𝑠， 则 𝜙1, . . . , 𝜙𝑖1, ¬𝜙, 𝜙𝑖+1, . . . , 𝜙𝑛 −→ ¬𝜙𝑖 ∈ 𝑅𝑠。

公理一致性

设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个可废止理论。𝑇 是公理一致的，当且仅当 𝑇ℎ(𝐹) 是一致的。

子论证封闭性

设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个逆否封闭且公理一致的可废止理论， 𝐸 是 \(𝐴𝐹_𝑇 = ⟨𝐴𝑅_𝑇 ,𝑎𝑡𝑡𝑎𝑐𝑘𝑠_𝑇 ⟩\) 的一个完全外延。 对于任意 𝛼 ∈ 𝐸，如果 𝛼′ ∈ Sub(𝛼) 则 𝛼′ ∈ 𝐸。

两条引理

  • 设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个逆否封闭且公理一致的可废止理论， \(𝛼_1,\dots, 𝛼_𝑛, 𝛼 ∈ 𝐴𝑅_𝑇\)，𝛼 是\(\{𝛼_1, ..., 𝛼_𝑛\}\) 的硬性接续。 如果对于任意 \(𝑖 = 1, ... , 𝑛\)，集合 \(𝐸 ⊆ 𝐴𝑅_𝑇\) 可防御 \(𝛼_𝑖\)，则 𝐸 可防御 𝛼。

  • 设 𝑇 = (𝐹, 𝑅𝑑, 𝑅𝑠) 是一个逆否封闭且公理一致的可废止理论，\(𝛼, 𝛽 ∈𝐴𝑅_𝑇\)。其中，𝛽是可废止论证， 且 Conc(𝛼) = −Conc(𝛽)。 那么，对于任意 𝛽′ ∈ 𝑀(𝛽)，存在论证集合𝑀(𝛼) ∪ (𝑀(𝛽) {𝛽′}) 的硬性接续， 记作 \(𝛼^𝑐_𝛽′\)，使得 \(𝛼^𝑐_𝛽′\) 在 𝛽′ 上反驳 𝛽。

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